积分学笔记1——初识积分学
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积分学笔记1——初识积分学
积分的概念
定义6.1.1 Riemann可积
设函数在区间$[a,b]$上有定义.如果实数$I$使得对于任意给定的$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，只要$[a,b]$的分割$\pi$满足$\left | \pi \right | < \delta$，而不管$\xi_i \in [x_{i-1},x_i] (1 \le i \le n)$如何选择，都有
\[\left | I - \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \right | < \varepsilon\]成立，则称$f$在$[a,b]$上Riemann可积，称$I$是$[a,b]$上的Riemann积分.记为
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x\]对于常见的连续函数，或许可以直接将积分理解为对 函数与坐标轴围成面积 无线近似的过程。
积分的性质
1.线性运算
\[\int_a^b [f(x)+g(x)] \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x + \int_a^b g(x) \mathrm{d}x\] \[\int_a^b c f(x) \mathrm{d}x = c \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\]2.保序性
若是函数$f$和$g$满足$\forall x \in [a,b], f(x) \ge g(x)$，那么 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x \ge \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x\)
3.关于区间的可加性
设$c \in (a,b)$，$f$在$[a,c],[c,b]$上可积，那么$f$在$[a,b]$上也可积，并且 \(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x\)
4.上下限互换，积分为相反数
\[\int_b^a f(x) \mathrm{d}x = - \int_a^b f(x) \mathrm{d}x\]5.积分平均值定理
设$f,g \in C[a,b]$且$g(x)$在$[a,b]$上不改变符号，则 \(\exists \xi \in [a,b], s.t.\\ \int_{a}^{b} f(x)g(x) \mathrm{d}x = f(\xi)\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x\)
可积函数
可积函数的性质
1.可积函数一定有界
2.可积函数一定绝对可积
| 若$f(x)$可积，则$\left | f(x) \right | $可积 |
3.子区间可积
若$f$在区间$I$上可积，则$\forall I_i \subseteq I$有$I_i$可积.
可积函数的判别
有限闭区间上的连续函数必可积(重要)
证明待补充
微积分学基本定理 Newton-Leibniz公式
设$f \in C[a,b]$，$G$是$f$在$[a,b]$上的任一原函数，那么 \(\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = G(b)-G(a)\)
分部积分与换元
#### 分部积分
对微分式 \(u \mathrm{d}v = \mathrm{d}(uv)-v \mathrm{d}u\) 等号两边同时积分，得到 \(\int_a^b u(x)v'(x) \mathrm{d}x = u(x)v(x) |_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \mathrm{d}x\)
换元
设$f$在$I$上连续，$a,b \in I$，函数$\varphi$在区间上有连续的导函数，$\varphi ([\alpha ,\beta ]) \subset I$，且$\varphi (\alpha ) = a , \varphi (\alpha ) = b$,那么 \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f\circ \varphi (x) \varphi' (x) \mathrm{d}x\)
Talor余项积分形态
若是$f$在$(a,b)$有$n+1$阶连续导函数，则我们可以将$f$写作 \(f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x)\) 其中 \(R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{x_0}^{x} (x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t\)